Question

2．已知b＞0，曲線$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosϕ+a}\\{y=sinϕ+b}\end{array}}$（φ為參數）與曲線ρ=4cosθ相交，則在平面直角坐標系內，直線x+$\sqrt{3}$y=0被點（a，b）所在平面區域截得的弦長為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出點（a，b）所在平面區域表示以（2，0）為圓心，1，3為半徑的圓環，即可得出結論．

解答 解：由題意，曲線$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosϕ+a}\\{y=sinϕ+b}\end{array}}$（φ為參數），
表示以（a，b）為圓心，1為半徑的圓；曲線ρ=4cosθ，
即x²+y²=4x，表示以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，
∵曲線$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosϕ+a}\\{y=sinϕ+b}\end{array}}$（φ為參數）與曲線ρ=4cosθ相交，
∴1＜（a-2）²+b²＜9，表示以（2，0）為圓心，1，3為半徑的圓環．
（2，0）到直線x+$\sqrt{3}$y=0的距離為d=$\frac{2}{\sqrt{1+3}}$=1，
∴直線x+$\sqrt{3}$y=0被點（a，b）所在平面區域截得的弦長為2（$\sqrt{9-1}$-0）=4$\sqrt{2}$．
故答案為4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查參數方程、極坐標方程的轉化，考查軌跡方程，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題．