Question

1．同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f（x）稱(chēng)為“H函數(shù)”：
①函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)；
②函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)存在區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]的值域也為[a，b]．
（1）判斷函數(shù)y=x³是否為“H函數(shù)”，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若是，求滿(mǎn)足條件②的區(qū)間[a，b]中端點(diǎn)a，b的值
（2）若函數(shù)y=lgx-t是“H函數(shù)”，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可以看出y=x³為增函數(shù)，滿(mǎn)足條件①，而方程x³=x有兩個(gè)不同的解，從而滿(mǎn)足條件②，從而可寫(xiě)出所有滿(mǎn)足②的區(qū)間[a，b]；可得端點(diǎn)a，b的值．
（2）函數(shù)y=lgx-t是“H函數(shù)”，由lgx為增函數(shù)，滿(mǎn)足條件①，x=lgx-t有兩個(gè)不同的解，滿(mǎn)足條件②，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)y=x³是增函數(shù)，滿(mǎn)足條件①，而方程x³=x有兩個(gè)不同的解，從而滿(mǎn)足條件②，
解得x=±1．
滿(mǎn)足②的區(qū)間[-1，1]，
故而a=-1，b=1．
（2）函數(shù)y=lgx-t是“H函數(shù)”，由lgx為增函數(shù)，滿(mǎn)足條件①，x=lgx-t有兩個(gè)不同的解，滿(mǎn)足條件②，
即函數(shù)y=lgx與y=x+t有兩個(gè)交點(diǎn)．
y=g（x）=lgx，
g′（x）=$\frac{1}{xln10}$，
∴k=1=$\frac{1}{xln10}$，
解得：x=$\frac{1}{ln10}$=lge，
故得切點(diǎn)為（lge，lg（lge））
則t=lg（lge）-lge
要使函數(shù)y=lgx與y=x+t有兩個(gè)交點(diǎn)，
則t滿(mǎn)足：t＜lg（lge）-lge
故得實(shí)數(shù)t的取值范圍（-∞，lg（lge）-lge）．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于信息給予題，題目信息量較大，綜合考查了函數(shù)的基本性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、最值、方程的根的判斷及零點(diǎn)等知識(shí)，解題關(guān)鍵就是如何準(zhǔn)確理解給定的有效信息