Question

17．某校參加高一年級期中考試的學生中隨機抽取60名學生，將其數學成績（均為整數）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100）后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）求分數在[70，80）內的頻率；并補全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）求在[60，70），[70，80）分數段上各有多少人？
（Ⅲ）用分層抽樣方法在分數段[60，80）的學生中抽取一個容量為6的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有一人在分數段[60，80）的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖能求出分數在[70，80）內的頻率，并能補全頻率分布直方圖．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖能求出[60，70）分數段的人數和[70，80）分數段的人數．
（Ⅲ）在在[60，80）的學生中抽取一個容量為6的樣本，[60，70）分數段抽取2人，分別記為m，n，[70，80）分數段抽取4人，分別記為a，b，c，d，利用列舉法能求出至多有1人在分數段[70，80）的概率．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）分數在[70，80）內的頻率為：
1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3，故$\frac{0.3}{10}=0.03$．…（2分）
補全頻率分布直方圖，如右圖所示：…（4分）      
（Ⅱ）由題意，[60，70）分數段的人數為：0.15×60=9人；     …（6分）
[70，80）分數段的人數為：0.3×60=18人；…（8分）
（Ⅲ）∵在[60，80）的學生中抽取一個容量為6的樣本，
∴[60，70）分數段抽取2人，分別記為m，n；
[70，80）分數段抽取4人，分別記為a，b，c，d；  …（10分）
設從樣本中任取2人，則此基本事件空間包含的基本事件有：
（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），
（n，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共15種基本事件，…（11分）
若至多有1人在分數段[70，80）為事件A，
則事件A包含的基本事件有：
（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），
（n，d），共9種基本事件，…（12分）
且是等可能的，∴$P（A）=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．…（13分）
答：至多有1人在分數段[70，80）的概率為$\frac{3}{5}$．…（14分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．