Question

19．已知f（x）=x²+2x-4+$\frac{a}{x}$．
（1）若a=4，求f（x）的單調區間．
（2）若f（x）有三個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出導函數，再根據導數和函數的單調性的關系即可求出單調性區間，
（2）已知條件轉化為函數有兩個極值點，并且極小值小于0，極大值大于0，求解即可．

解答 解：（1）當a=4時，f（x）=x²+2x-4+$\frac{4}{x}$，x≠0，
∴f′（x）=2x+2-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{2（{x}^{3}+{x}^{2}-2）}{{x}^{2}}$=$\frac{2（x-1）（{x}^{2}+2x+2）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得x＞1，函數單調遞增，
當f′（x）＜0，解得x＜1且x≠0，函數單調遞減，
∴f（x）在（1，+∞）單調遞增，在（-∞，0）或（0，1）上單調遞減；
（2）f（x）有三個零點，即f（x）=x²+2x-4+$\frac{a}{x}$=0有3個解，
即x³+2x²-4x+a=0，有3個非0的解，
設g（x）=x³+2x²-4x+a=0，x≠0，
則函數g（x）有兩個極值點，極小值小于0，極大值大于0；
由g′（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）=0，解得x₁=-2，x₂=$\frac{2}{3}$，
∴x∈（-∞，-2）或（$\frac{2}{3}$，+∞），g′（x）＞0，
x∈（-2，0）或（0，$\frac{2}{3}$），g′（x）＜0，
∴函數的極小值g（$\frac{2}{3}$）=a-$\frac{40}{27}$和極大值f（-2）=a+8．
∵函數g（x）=x³+2x²-4x+a有三個不同的零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+8＞0}\\{a-\frac{40}{27}＜0}\end{array}\right.$，解之，得-8＜a＜$\frac{40}{27}$．
而當a=0時，g（x）=x³+2x²-4x=x（x²+2x-4）=0，只有2個零點，
故實數a的取值范圍是（-8，0）∪（0，$\frac{40}{27}$）．

點評 本題考查函數的導數與函數的極值的關系，考查轉化思想，計算能力，屬于中檔題．