Question

9．已知函數f（x）=x+$\frac{a}{x}$，g（x）=-xe^-x，若對任意的x₁∈[1，e]，存在x₂∈[0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），則a的取值范圍為$[-1-\frac{1}{e}，+∞）$．

Answer 1

分析 對任意的x₁∈[1，e]，存在x₂∈[0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），等價于f（x₁）_min≥g（x₂）_min．g（x）=-xe^-x，x∈[0，2]，g′（x）=（x-1）e^-x，可知x=1時函數g（x）取得極小值，g（1）=$-\frac{1}{e}$．x+$\frac{a}{x}$≥$-\frac{1}{e}$恒成立，x∈[1，e]，化為：a≥-x²-$\frac{1}{e}x$=$-（x+\frac{1}{2e}）^{2}$+$\frac{1}{4{e}^{2}}$=u（x），利用二次函數的單調性即可得出．

解答 解：對任意的x₁∈[1，e]，存在x₂∈[0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），
等價于f（x₁）_min≥g（x₂）_min．
g（x）=-xe^-x，x∈[0，2]，g′（x）=（x-1）e^-x，可知x=1時函數g（x）取得極小值，g（1）=$-\frac{1}{e}$．
∴x+$\frac{a}{x}$≥$-\frac{1}{e}$恒成立，x∈[1，e]，
化為：a≥-x²-$\frac{1}{e}x$=$-（x+\frac{1}{2e}）^{2}$+$\frac{1}{4{e}^{2}}$=u（x），
u（x）在x∈[1，e]上單調遞減，因此x=1時，u（x）取得最大值-1-$\frac{1}{e}$，
∴a≥-1-$\frac{1}{e}$，
∴a的取值范圍為$[-1-\frac{1}{e}，+∞）$．
故答案為：$[-1-\frac{1}{e}，+∞）$．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、不等式的性質、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．