Question

1．已知函數f（x）=$\frac{lnx}{x}$
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）設g（x）=xf（x），若g（x）-x+m≤0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$．由此利用導數性質能求出f（x）的單調區間．
（2）g（x）=xf（x）=lnx，令h（x）=g（x）-x+m=lnx-x+m，則${h}^{'}（x）=\frac{1}{x}-1$，g（x）-x+m≤0恒成立，知[h（x）]_max≤0，由此能求出實數m的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f（x）定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$．
令f'（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=0，則x=e．
列表如下：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	$\frac{1}{e}$	↘

∴f（x）的減區間為（e，+∞），增區間為（0，e）．
（2）g（x）=xf（x）=lnx，
令h（x）=g（x）-x+m=lnx-x+m，則${h}^{'}（x）=\frac{1}{x}-1$，
∵g（x）-x+m≤0恒成立，∴h（x）_max≤0，
∵由${h}^{'}（x）=\frac{1}{x}-1=0$，得x=1，
當x∈（0，1）時，h′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0．
∴[h（x）]_max=h（1）=ln1-1+m=m-1≤1．
∴m≤1．
∴實數m的取值范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查函數的單調區間的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．