Question

13．已知函數f（x）=ax²+2（a-1）x-2lnx．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當a＞0時，若f（x）在區間[1，e]上的最小值為1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，化簡函數求出導數，求出斜率，然后求解切線方程．
（2）求出函數f（x）的定義域是（0，+∞）．通過當a＞0時，求出極值點，判斷函數的單調性，求出函數的最值，即可．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x²-2lnx，f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$．…（1分）
因為f′（1）=0，f（1）=1，切點為（1，1），切線斜率為0，
所以切線方程是y=1．…（4分）
（2）函數f（x）=ax²+2（a-1）x-2lnx的定義域是（0，+∞）．
當a＞0時，f′（x）=2ax+2（a-1）-$\frac{2}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+2（a-1）x-2}{x}$（x＞0），
令f′（x）=0，即f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}+2（a-1）x-2}{x}$=$\frac{2（x+1）（ax-1）}{x}$=0，
所以x=-1（舍）或x=$\frac{1}{a}$．…（8分）
當0＜$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1時，f（x）在[1，e]上單調遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1），由f（1）=3a-2=1，得a=1；
當1＜$\frac{1}{a}$＜e，即$\frac{1}{e}＜a＜1$時，f（x）在（1，$\frac{1}{a}$）上單調遞減，在（$\frac{1}{a}$，e）上單調遞增，
∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（$\frac{1}{a}$），由$f（\frac{1}{a}）=\frac{1}{a}+\frac{{2（{a-1}）}}{a}-2ln\frac{1}{a}=1$，得$ln\frac{1}{a}=\frac{a-1}{2a}$，
∵$ln\frac{1}{a}＞0$，$\frac{a-1}{2a}＜0$，∴當$\frac{1}{e}＜a＜1$時，f（x）在區間[1，e]上的最小值不為1；
當$\frac{1}{a}$≥e，即$a≤\frac{1}{e}$時，f（x）在（1，e）上單調遞減，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e），
由f（e）=ae²+2（a-1）e-2=1，得$a=\frac{2e+3}{{{e^2}+2e}}$，
∴$a-\frac{1}{e}=\frac{2e+3}{{{e^2}+2e}}-\frac{1}{e}=\frac{{2{e^2}+3e-{e^2}-2e}}{{e（{{e^2}+2e}）}}=\frac{{{e^2}+e}}{{e（{{e^2}+2e}）}}＞0$，即$a＞\frac{1}{e}$，
∴當$a≤\frac{1}{e}$時，f（x）在區間[1，e]上的最小值不為1．
綜上可知，當a=1時，函數f（x）在區間[1，e]上的最小值為1．…（12分）

點評 本題考查函數的導數的應用，切線方程的求法，函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．