Question

3．定義在R上的函數f（x）滿足f′（x）＜1，f（1）=2，則滿足f（2x-1）＜2x的x的范圍是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，1）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=f（x）-x，由于導函數f′（x）＜1，得到y=g（x）在R單調遞減，不等式f（2x-1）＜2x即為f（2x-1）-（2x-1）＜1，g（2x-1）＜1，g（1）=f（1）-1=1，利用函數的單調性得出；2x-1＞1，x＞1．

解答 解：因為f′（x）＜1，
所以f′（x）-1＜0，
令g（x）=f（x）-x
所以y=g（x）在R單調遞減，
因為f（1）=2，
所以g（1）=f（1）-1=1，
所以不等式f（2x-1）＜2x的
即為g（2x-1）＜1
因為y=g（x）在R單調遞減，
所以2x-1＞1
解得x＞1．
故選：A．

點評 解決抽象不等式的解集問題，一般先利用導數判斷與不等式相應的函數的單調性問題，利用單調性轉化為具體不等式的解集問題