Question

18．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．在極坐標系中，設點P為曲線C₁：ρ=2cosθ上的任意一點，點Q在射線OP上，且滿足|OP|•|OQ|=6，記Q點的軌跡為C₂．
（1）求曲線C₂的直角坐標方程；
（2）直線l：θ=$\frac{π}{3}$分別交C₁與C₂交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用點P為曲線C₁：ρ=2cosθ上的任意一點，|OP|•|OQ|=6，可得$\frac{6}{ρ}$=2cosθ，即可求曲線C₂的直角坐標方程；
（2）直線l：θ=$\frac{π}{3}$分別交C₁與C₂交于A，B兩點，求出A，B的坐標，即可求|AB|．

解答 解：（1）設P（ρ₁，θ），Q（ρ，θ），∴ρ₁=$\frac{6}{ρ}$，
∵點P為曲線C₁：ρ=2cosθ上的任意一點，∴$\frac{6}{ρ}$=2cosθ，∴x=3
∴曲線C₂的直角坐標方程為x=3；
（2）直線l：θ=$\frac{π}{3}$與ρ=2cosθ聯立可得A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），與曲線C₂聯立，可得B（3，3$\sqrt{3}$）
∴|AB|=$\sqrt{（3-\frac{1}{2}）^{2}+（3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=5．

點評 本題考查極坐標方程的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．