Question

5．設A₁，A₂，A₃，…，A_n是集合{1，2，3，…，n}的n個非空子集（n≥2），定義a_ij=$\left\{\begin{array}{l}{0{，A}_{i}∩{A}_{j}=∅}\\{1，{A}_{i}∩{A}_{j}≠∅}\end{array}\right.$，其中i，j=1，2，…，n，這樣得到的n²個數之和記為S（A₁，A₂，A₃，…，A_n），簡記為S，下列三種說法：①S與n的奇偶性相同；②S是n的倍數；③S的最小值為n，最大值為n²．其中正確的判斷是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ③

Answer 1

分析 由集合的子集的概念和規定第i行與第j列的數為a_ij=$\left\{\begin{array}{l}{0{，A}_{i}∩{A}_{j}=∅}\\{1，{A}_{i}∩{A}_{j}≠∅}\end{array}\right.$，其中i，j=1，2，…，n，對選項一一判斷即可．

解答 解：把aij按其腳注排成一個數陣的話，如下，對角線上全是1，對角線外，1成對出現，如下：

（1）a₁₁=a₂₂=…=a_nn=1；
（2）當i≠j時，若a_ij=1，則a_ij=1；
若a_ij=0，則a_ij=0；
即對角線上全是1，對角線外，1成對出現，
所以，S=n+2k，k是某一個非負整數，
即：S與n的奇偶性一致，且S最小值是n，
又因為，當A₁=A₂=…=A_n時，S=n²．
故①③是正確的．
故選：B．

點評 本題考查集合的子集的概念，考查簡單的合情推理，以及對規定的理解和運用，屬于中檔題．