Question

14．已知A=$\frac{3}{{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{s}}}$，B=$\frac{p+q+s}{3}$（ p，q，s∈（0，+∞））
（Ⅰ）分別就$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=1}\\{s=1}\end{array}}$和$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=2}\\{s=1}\end{array}}$判斷A與B的大小關系，并由此猜想：對于任意的正數p，q，s，A與B的大小關系及等號成立的條件；
（Ⅱ）請證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）計算$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=1}\\{s=1}\end{array}}\right.$和$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=2}\\{s=1}\end{array}}\right.$時，對應A的值，由此猜想：A≤B，當且僅當p=q=s時取得等號；
（2）用分析法證明結論成立即可．

解答 解：（1）當$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=1}\\{s=1}\end{array}}\right.$時，A=B=1，…（1分）
當$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=2}\\{s=1}\end{array}}\right.$時，$A=\frac{6}{5}＜B=\frac{4}{3}$；…（3分）
對于任意的p，q，s∈（0，+∞），
猜想：A≤B，當且僅當p=q=s時取得等號；…（6分）
（2）證明如下：對于p，q，s∈（0，+∞），
要證$\frac{3}{{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{s}}}≤\frac{p+q+s}{3}$成立，…（7分）
只需證：$9≤（p+q+s）（\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{s}）$，
只需證：$9≤3+\frac{p}{q}+\frac{p}{s}+\frac{q}{p}+\frac{q}{s}+\frac{s}{p}+\frac{s}{q}$，
即證：$6≤（\frac{p}{q}+\frac{q}{p}）+（\frac{p}{s}+\frac{s}{p}）+（\frac{q}{s}+\frac{s}{q}）$（*）；…（10分）
∵對于p，q，s∈（0，+∞），有$\frac{p}{q}+\frac{q}{p}≥2$，
同理：$\frac{p}{s}+\frac{s}{p}≥2，\frac{q}{s}+\frac{s}{q}≥2$；
∴不等式（*）顯然成立；…（11分）
要使（*）的等號成立，必須p=q=s時等號成立；
 所以原不等式成立．…（12分）
（其他證明方法酌情給分）

點評 本題考查了推理與證明的應用問題，也考查了歸納猜想的應用問題，是綜合性題目．