Question

18．已知函數(shù)f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1在區(qū)間[-1，1]上存在實(shí)數(shù)x₀，使f（x₀）＞0，試求實(shí)數(shù)p的范圍．

Answer 1

分析 由f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1，可得其對(duì)稱軸方程為：x=$\frac{p-2}{4}$，分x=$\frac{p-2}{4}$≥1，x=$\frac{p-2}{4}$≤-1，及x=$\frac{p-2}{4}$∈（-1，1），三類討論，分別求得對(duì)應(yīng)情況下的f（x）_max，依題意，令f（x）_max＞0，最后取并即可．

解答 解：f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1，對(duì)稱軸方程為：x=$\frac{p-2}{4}$，
（1）當(dāng)x=$\frac{p-2}{4}$≥1，即p≥6時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，
f（x）_max=f（-1）=4+2（p-2）-2p²-p+1=-2p²+p+1，
依題意，-2p²+p+1＞0，解得-$\frac{1}{2}$＜p＜1，所以在這個(gè)范圍內(nèi)p不存在；
（2）當(dāng)x=$\frac{p-2}{4}$≤-1，即p≤-2時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，
f（x）_max=f（1）=4-2（p-2）-2p²-p+1=-2p²-3p+9，
依題意，-2p²-3p+9＞0，解得-3＜p＜$\frac{3}{2}$，所以p∈（-3，-2]；
（3）當(dāng)對(duì)稱軸x=$\frac{p-2}{4}$∈（-1，1），即-2＜p＜6時(shí)，f（1）＞0，或f（-1）＞0，
當(dāng) f（1）＞0時(shí)，解得：-2＜p＜$\frac{3}{2}$；
當(dāng) f（-1）＞0時(shí)，解得：-$\frac{1}{2}$＜p＜1；
所以綜上所述 p屬于（-3，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查分類討論思想及集合的交、并運(yùn)算能力，屬于難題．