Question

14．已知點M（-1，0），N（1，0），若直線上存在點P，使得|PM|+|PN|=4，則稱該直線為“A型直線”，給出下列直線：①y=x+3；②x=-2；③y=2；④y=2x+1，其中為“A類直線”的是（　　）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ②③
• D． ③④

Answer 1

分析 由題意可知，點P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，其方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，把直線方程分別代入橢圓方程看是否有解即可判斷出結論．

解答 解：由題意可知，點P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，其方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
①把y=x+3代入橢圓方程并整理得，7x²+24x+24=0，∵△＜0，∴y=x+3不是“A型直線”．
②把x=-2代入橢圓方程，成立，∴x=-2是“A型直線”．
③把y=2代入橢圓方程，不成立，∴y=2不是“A型直線”．
④把y=2x+1代入橢圓方程并整理得，19x²-48x+24=0，∵△=（-48）²-4×19×24＞0，∴y=-2x+3是“A型直線”．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．