Question

2．已知函數f（x）=$\frac{3{x}^{2}+ax}{{e}^{x}}$（a∈R）在[4，+∞）上是減函數，則a的取值范圍為[-8，+∞）．

Answer 1

分析 求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系轉化為在[4，+∞）上f′（x）≤0恒成立，利用換元法結合函數單調性的性質進行求解即可．

解答 解：函數的導數為f′（x）=$\frac{（6x+a）{e}^{x}-（3{x}^{2}+ax）{e}^{x}}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{-3{x}^{2}-ax+6x+a}{{e}^{x}}$=$\frac{-3{x}^{2}+（6-a）x+a}{{e}^{x}}$，
若f（x）在[4，+∞）上是減函數，
則f′（x）≤0恒成立，
即-3x²+（6-a）x+a≤0，在[4，+∞）上恒成立，
即-3x²+6x+（1-x）a≤0[4，+∞）上恒成立，
即a≥$\frac{3{x}^{2}-6x}{1-x}$，
令x-1=t，則t≥3，且x=t+1，
則$\frac{3{x}^{2}-6x}{1-x}$=$\frac{3（t+1）^{2}-6（t+1）}{-t}$=$\frac{3{t}^{2}-3}{-t}$=-3t+$\frac{3}{t}$，
則函數y=3t+$\frac{3}{t}$則t≥3上為減函數，
∴-3t+$\frac{3}{t}$≤-3×3+1=-8，
則a≥-8，
故答案為：[-8，+∞）．

點評 本題主要考查函數單調性的應用，求函數的導數，結合函數單調性和導數之間的關系，轉化為不等式恒成立問題是解決本題的關鍵．