Question

11．設函數f（x）=e^x（x²-x+1）
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若當x∈[-1，1]時，不等式f（x）＞m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域，函數的導數，利用導函數的符號，求解函數的單調區間．
（2）利用（1）的結果，直接求解函數的最值即可．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（-∞，+∞），…（1分）
f′（x）=e^x （x²-x+1）+e^x （2x-1）=e^x （x²+x）． …（3分）
由x²+x=0得x=-1，x=0，又e^x＞0，
∴若x＜-1，則f′（x）＞0；若-1＜x＜0，則f′（x）＜0；若x＞0，則f′（x）＞0．
∴f（x）的增區間為（-∞，-1）和（0，﹢∞），減區間為（-1，0）．  …（8分）
（2）由（1）知f（x）在[-1，1]上的最小值為f（0），
∴[f（x）]_min=f（0）=1，∴當m＜1時，不等式f（x）＞m恒成立．
即實數m的取值范圍是（-∞，1）．  …（12分）

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及閉區間上的函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．