Question

13．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線是直線l：x=-2，焦點是F．
（1）求拋物線C的方程．
（2）若l與x軸交于點A，點M在拋物線C上，且M到焦點F的距離為8，求△AFM的面積S．

Answer 1

分析 （1）由拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線是直線l：x=-2，求出p，即可求拋物線C的方程．
（2）設拋物線上的點M（x₀，y₀），求得|MF|，再由三角形的面積公式計算可得結論．

解答 解：（1）由已知得：$-\frac{p}{2}=-2∴p=4$---------------------------------------------（2分）
所以拋物線C的方程是：y²=8x----------------------------------------------（4分）
（2）由已知得：A（-2，0），F（2，0），所以|AF|=4-------------------------（6分）
設拋物線上的點M（x₀，y₀），
由拋物線的定義知：$|{MF}|={x_0}+\frac{p}{2}={x_0}+2=8∴{x_0}=6$-------------------------------------------（8分）
代入$y_0^2=8{x_0}$，得$y_0^2=8×6=48∴|{y_0}|=4\sqrt{3}$----------------------------（10分）∴$S=\frac{1}{2}|{AF}||{y_0}|=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$-----------------------------------------（12分）

點評 本題考查拋物線的方程和性質，主要考查準線方程和焦點坐標，同時考查三角形的面積計算，屬于基礎題．