Question

3．已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n．數列{a_n}中的項按下列規律過程構成無窮多個行列式：|$\begin{array}{l}{a_1}{a_2}{a_3}\\{a_4}{a_5}{a_6}\\{a_7}{a_8}{a_9}\end{array}|，|\begin{array}{l}{a_7}{a_8}{a_9}\\{a_{10}}{a_{11}}{a_{12}}\\{a_{13}}{a_{14}}{a_{15}}\end{array}|，|\begin{array}{l}{a_{13}}{a_{14}}{a_{15}}\\{a_{16}}{a_{17}}{a_{18}}\\{a_{19}}{a_{20}}{a_{21}}\end{array}|…，記{A_i}為{a_i}$（i=1，2，3…）的代數余子式．
（1）若S_n=2n²+n，求A₁，A₄，A₆，A₉；
（2）若數列{a_n}為等差數列，A₃=-27$，\;{a_1}=5\;，\;{b_n}=\frac{a_n}{2^n}$，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）數列{a_n}為公差不為0的等差數列，Ai=λ（A_i-k+A_i+k），其中i，i-k，i+k，k∈N^*．試研究λ的所有可能值，并指出取到每個值時的條件（注：本小題將根據考生研究的情況分層評分）．

Answer 1

分析 （1）先求出a_n=4n-1，再求A₁，A₄，A₆，A₉；
（2）求出數列的通項，利用錯位相減法求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）${A_{\;i}}=\left\{\begin{array}{l}6{d^2}\;（\;i\;為偶數\;）\\-3{d^2}\;（\;i\;為奇數且\;i≠6m-1，m∈{N^*}\;）\\-12{d^2}\;（\;i=6m-1，m∈{N^*}\;）\end{array}\right.$，分類討論，即可研究λ的所有可能值，并指出取到每個值時的條件．

解答 解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n-1．
∵a₁=S₁=3符合上式，∴a_n=4n-1．
∴A₁=-48，A₄=96，A₆=96，A₉=-48；
（2）A₃=$|\begin{array}{l}{{a}_{4}}&{{a}_{5}}\\{{a}_{7}}&{{a}_{8}}\end{array}|$=（a₁+3d）（a₁+7d）-（a₁+4d）（a₁+6d）=-27=-3d²，
∴d=3．
∴a_n=3n+2，∴${b_n}=\frac{3n+2}{2^n}.\\{T_n}=\frac{1}{2}×5+{（\frac{1}{2}）^2}×8+{（\frac{1}{2}）^3}×11+…+{（\frac{1}{2}）^n}×（3n+2）\;①\\ 2{T_n}=1×5+（\frac{1}{2}）×8+{（\frac{1}{2}）^2}×11+…+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}×（3n+2）②\end{array}$
∴T_n=5•$\frac{1}{2}$+8•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（3n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$①
∴$\frac{1}{2}$T_n=5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+8•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（3n+2）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$②
$②-①，得\;{T_n}=8-{（\frac{1}{2}）^n}×（3n+8）$．
（3）${A_{\;i}}=\left\{\begin{array}{l}6{d^2}\;（\;i\;為偶數\;）\\-3{d^2}\;（\;i\;為奇數且\;i≠6m-1，m∈{N^*}\;）\\-12{d^2}\;（\;i=6m-1，m∈{N^*}\;）\end{array}\right.$
①當i=6m-1，m∈N^*時，A_i=$\left\{\begin{array}{l}{-（{A}_{i-k}+{A}_{i+k}）（k為奇數）}\\{2（{A}_{i-k}+{A}_{i+k}）（k為偶數，且k≠6p）}\\{\frac{1}{2}（{A}_{i-k}+{A}_{i+k}）（k=6p）}\end{array}\right.$，∴λ=-1，2，$\frac{1}{2}$；
②i=6m+4或i=6m+6，A_i=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（{A}_{i-k}+{A}_{i+k}）（k為偶數）}\\{-（{A}_{i-k}+{A}_{i+k}）（k=6p+3）}\\{-\frac{2}{5}（{A}_{i-k}+{A}_{i+k}）（k=6p+1，6p+5）}\end{array}\right.$，∴λ=-$\frac{2}{5}$，-1，$\frac{1}{2}$；
③i=6m+2，A_i=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（{A}_{i-k}+{A}_{i+k}）（k為偶數）}\\{-（{A}_{i-k}+{A}_{i+k}）（k為奇數，k≠6p+3）}\\{-\frac{1}{4}（{A}_{i-k}+{A}_{i+k}）（k=6p+3）}\end{array}\right.$，∴λ=-$\frac{1}{4}$，-1，$\frac{1}{2}$；
④i=6m+1或i=6m+3，A_i=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}（{A}_{i-k}+{A}_{i+k}）（k為奇數）}\\{\frac{1}{2}（{A}_{i-k}+{A}_{i+k}）（k=6p）}\\{\frac{1}{5}（{A}_{i-k}+{A}_{i+k}）（k=6p+2或k=6p+4）}\end{array}\right.$，∴λ=-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2}$，
綜上所述，λ取值集合為{-1，2，$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，-$\frac{2}{5}$}．

點評 本題考查矩陣與數列的結合，考查數列的通項與求和，考查分類討論的數學思想，難度大．