Question

15．如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，OA=AB=2，OA⊥底面ABCD，M為OA的中點，N為BC的中點．作AP⊥CD于點P，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸，建立如圖空間直角坐標系．
（1）證明：直線MN∥平面OCD；  
（2）求異面直線AB與MD所成角的余弦值；
（3）求點B到平面OCD的距離．

Answer 1

分析 （1）根據空間直角坐標系，寫出對應點與向量的坐標，利用平面OCD的法向量證明MN∥平面OCD；
（2）利用向量的數量積求出AB與MD所成角的余弦值；
（3）利用向量$\overrightarrow{OB}$在法向量上的投影的絕對值求出點B到平面OCD的距離．

解答 解：（1）根據空間直角坐標系得，
A（0，0，0），B（2，0，0），$P（0{，^{\;}}\sqrt{3}{，^{\;}}0）$，$D（-1{，^{\;}}\sqrt{3}{，^{\;}}0）$，
O（0，0，2），M（0，0，1），$N（\frac{3}{2}{，^{\;}}\frac{{\sqrt{3}}}{2}{，^{\;}}0）$，…（2分）
∴$\overrightarrow{MN}=（\frac{3}{2}{，^{\;}}\frac{{\sqrt{3}}}{2}{，^{\;}}-1）$，
$\overrightarrow{OP}=（0{，^{\;}}\sqrt{3}{，^{\;}}-2）$，
$\overrightarrow{OD}=（-1{，^{\;}}\sqrt{3}{，^{\;}}-2）$，…（3分）
設平面OCD的法向量為$\overrightarrow n=（x{，^{\;}}y{，^{\;}}z）$，
則$\overrightarrow n•\overrightarrow{OP}=0$，$\overrightarrow n•\overrightarrow{OD}=0$，
即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}y-2z=0\\-x+\sqrt{3}y-2z=0\end{array}\right.$，
取$y=\sqrt{3}$，解得$\overrightarrow n=（0{，^{\;}}\sqrt{3}{，^{\;}}\frac{3}{2}）$；…（4分）
$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{n}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1）•（0，$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$）=0，
∴MN∥平面OCD；…（6分）
（2）設AB與MD所成的角為θ，
∵$\overrightarrow{AB}=（2{，^{\;}}0{，^{\;}}0）$，$\overrightarrow{MD}=（-1{，^{\;}}\sqrt{3}{，^{\;}}-1）$，…（7分）
∴$cosθ=\frac{{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{MD|}}}{{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{MD}|}}=\frac{2}{{2×\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，…（9分）
∴AB與MD所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；…（10分）
（3）設點B到平面OCD的距離為d，則
d為向量$\overrightarrow{OB}$在向量$\overrightarrow n=（0{，^{\;}}\sqrt{3}{，^{\;}}\frac{3}{2}）$上的投影的絕對值，
由$\overrightarrow{OB}=（2{，_{\;}}0{，^{\;}}-2）$，得
$d=\frac{{|\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{n|}}}{{|\overrightarrow{n|}}}=\frac{3}{{\frac{{\sqrt{21}}}{2}}}=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$；…（12分）
所以點B到平面OCD的距離為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．…（14分）

點評 本題主要考查了空間中的平行和垂直關系的應用問題，也考查了建立空間坐標系，利用向量法求夾角和距離的應用問題，是綜合性題目．