Question

10．已知函數f（x）=-x³+3x+m恰有兩個零點，則實數m=（　　）

• A． -2或2
• B． -1或1
• C． -1或-2
• D． 1或2

Answer 1

分析 若函數f（x）恰好有兩個不同的零點，等價為函數的極值為0，建立方程即可得到結論．

解答 解：∵f（x）=-x³ +3x+m，∴f'（x）=-3x²+3，
由f'（x）＞0，得-1＜x＜1，此時函數單調遞增，
由f'（x）＜0，得x＞1或x＜-1，此時函數單調遞減．
即當x=-1時，函數f（x）取得極小值，當x=1時，函數f（x）取得極大值．
要使函數f（x）=x³-3x+a只有兩個零點，則滿足極大值等于0或極小值等于0，
由極大值f（1）=-1+3+m=m+2=0，解得m=-2；
再由極小值f（-1）=1-3+m=m-2=0，解得m=2．
綜上實數m的取值范圍：m=-2或m=2，
故選：A．

點評 本題主要考查三次函數的圖象和性質，利用導數求出函數的極值是解決本題的關鍵，屬于中檔題．