Question

15．已知函數f（x）（x∈R）滿足f（1）=2，且f（x）的導函數f′（x）＜$\frac{2}{3}$，則f（x）＜$\frac{2x}{3}$+$\frac{4}{3}$的解集為（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-1，∞）∪（2，+∞）
• C． （-∞，2）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 構造函數，g（x）=f（x）-$\frac{2}{3}$x，判斷出函數的單調性，則不等式f（x）＜$\frac{2x}{3}$+$\frac{4}{3}$轉化為g（x）＜g（1），解得即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{2}{3}$x，
∴g′（x）=f′（x）-$\frac{2}{3}$，
∵f（x）的導函數f′（x）＜$\frac{2}{3}$，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在R上為減函數，
又f（1）=2，
∴g（1）=f（1）-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∵f（x）＜$\frac{2x}{3}$+$\frac{4}{3}$，
∴f（x）-$\frac{2x}{3}$＜$\frac{4}{3}$，
∴g（x）＜g（1），
∴x＞1，
故選：A

點評 本題利用導數研究函數的單調性，可構造函數，考查所構造的函數的單調性是關鍵，也是難點所在，屬于中檔題．