Question

5．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠D=90°，且AB∥CD，AB=AD，∠BCD=45°．
（1）點F在線段PC上何位置時，BF∥平面PAD？并證明你的結論．
（2）當直線PB與平面ABCD所成的角為45°時，求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點M，連接FM，AM．推導出四邊形ABFM為平行四邊形，從而BF∥AM，由此求出當F為線段PC中點時，BF∥平面PAD．
（2）以A點為原點，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的大小．

解答 解：（1）當F為PC的中點時，BF∥平面PAD．（2分）
證明如下：
取PD的中點M，連接FM，AM．
由AB=AD，∠BCD=45°，得AB=$\frac{1}{2}$CD=FM．
又FM∥CD∥AB，
所以四邊形ABFM為平行四邊形，所以BF∥AM．（4分）
又AM?平面PAD，BF?平面PAD，
所以BF∥平面PAD．（6分）
（2）由題意知AB，AD，AP兩兩垂直，
則以A點為原點，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
由題意∠PBA為直線PB與平面ABCD所成的角，則∠PBA=45°，所以PA=AB．
設PA=AB=AD=1，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C（2，1，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{PC}$=（2，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-1）．（8分）
設平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{PB}$?$\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{PC}$?$\overrightarrow{n}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-z=0}\\{2x+y-z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1）．（10分）
同理可以求出平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=0，
∴平面PBC⊥平面PCD，即二面角B-PC-D為90°．（12分）

點評 本查滿足線面平行的點的位置的確定與求法，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．