Question

14．已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），曲線C的極坐標方程為ρ=$2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，直線l與曲線C交于A、B兩點，并與y軸交于點P．
（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）求$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數，可得普通方程；由曲線C的極坐標方程ρ=$2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，展開為ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，即可得出；曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線與曲線C交于A，B兩點，與y軸交于點P，把直線的參數方程代入曲線C的普通方程（x-1）²+（y-1）²=2中，得t²-$\sqrt{2}$t-1=0，得到根與系數的關系，利用直線參數的意義即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數，可得普通方程為x-y+1=0．
由曲線C的極坐標方程ρ=$2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，展開為ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，
∴普通方程是x²+y²=2y+2x，
即（x-1）²+（y-1）²=2．
（Ⅱ）設直線與曲線C交于A，B兩點，與y軸交于點P，
把直線的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），
代入曲線C的普通方程（x-1）²+（y-1）²=2中，
得t²-$\sqrt{2}$t-1=0，
∴t₁+t₂=$\sqrt{2}$，t₁t₂=-1，
∴$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$=$\frac{{|t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{2+4}}{1}$=$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了把極坐標方程化為直角坐標方程、直線與曲線的交點、直線參數方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．