Question

9．已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為$\frac{4}{3}$，則球O的表面積為（　　）

• A． $\frac{32}{3}π$
• B． 16π
• C． 144π
• D． 288π

Answer 1

分析 當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大，利用三棱錐O-ABC體積的最大值為$\frac{4}{3}$，求出半徑，即可求出球O的表面積．

解答 解：如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大，設球O的半徑為R，此時V_O-ABC=V_C-AOB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{R}^{2}×R=\frac{4}{3}$，
故R=2，則球O的表面積為4πR²=16π，
故選B．

點評 本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計算，確定點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大是關鍵．