Question

19．設A、B為拋物線y²=2px（p＞0）上相異兩點，則$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|^2}-|\overrightarrow{AB}{|^2}$的最小值為（　　）

• A． -4p²
• B． -3p²
• C． -2p²
• D． -p²

Answer 1

分析 設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）．則$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|^2}-|\overrightarrow{AB}{|^2}=4（{x_A}{x_B}+{y_A}{y_B}）$，分類討論，結合韋達定理，即可得出結論．

解答 解：設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）．則$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|^2}-|\overrightarrow{AB}{|^2}=4（{x_A}{x_B}+{y_A}{y_B}）$，
若直線AB斜率存在，設為y=k（x-a），聯立得k²x²-2（ak²+p）x+k²a²=0，
則${x_A}{x_B}={a^2}$，${y_A}{y_B}={k^2}（{x_A}-a）（{x_B}-a）=-2ap$．$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|^2}-|\overrightarrow{AB}{|^2}=4（{a^2}-2ap）=4[{（a-p）^2}-{p^2}]≥-4{p^2}$．
若直線不存在，當${x_A}={x_B}=a\;，\;\;{y_A}=-{y_B}=\sqrt{2ap}$時上式也成立．故所求最小值為-4p²．
當且僅當直線AB過點（p，0）時等號成立．
故選A．

點評 本題考查了拋物線的簡單幾何性質，考查了學生的計算能力，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．