Question

17．若函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a∈R）在（1，+∞）上是增函數，則a的取值范圍是（-∞，1]．

Answer 1

分析 由函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增，可得f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立．即x-$\frac{a}{x}$≥0，?a≤2x²_min，x∈（1，+∞）．利用二次函數的單調性求出即可

解答 解：函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx，（a∈R）．f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，
∵函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增，
∴f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立．
∴x-$\frac{a}{x}$≥0，x∈（1，+∞）?a≤x²_min，x∈（1，+∞）．
令g（x）=x²，則g（x）在（1，+∞）單調增函數．
∴g（x）＜g（1）=1．
∴a≤1．
故答案為：（-∞，1]．

點評 熟練掌握利用導數研究函數的單調性、等價轉化、二次函數的性質等是解題的關鍵．