Question

17．已知函數f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{1+x}$．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）≥0對x∈（-1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=2時，$f（x）=ln（1+x）-\frac{2x}{1+x}$，f（1）=ln2-1，k=f′（1）=0，由此能求出切線方程．
（Ⅱ）${f^'}（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{{a（{x+1}）-ax}}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{x+1-a}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{{x-（{a-1}）}}{{{{（{x+1}）}^2}}}$，由此利用導數性質和分類討論思想能求出當且僅當a=1時f（x）≥0恒成立．

解答 解：（Ⅰ）當a=2時，$f（x）=ln（1+x）-\frac{2x}{1+x}$，f（1）=ln2-1，…（1分），
${f^'}（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{{2（{x+1}）-2x}}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{x-1}{{{{（{1+x}）}^2}}}$，…（2分）
∴k=f′（1）=0，…（3分）
∴切線方程為y=ln2-1．…（4分）
（Ⅱ）${f^'}（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{{a（{x+1}）-ax}}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{x+1-a}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{{x-（{a-1}）}}{{{{（{x+1}）}^2}}}$．
①當a≤0時，a-1≤-1，又x∈（-1，+∞），
∴x-（a-1）＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）上為增函數，…（6分）
又∵f（0）=0，∴當-1＜x＜0時，f（x）＜0，與題意不符．…（7分）
②當a＞0，令f′（x）=0，得x=a-1＞-1，
且-1＜x＜a-1時，f′（x）＜0，x＞a-1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=a-1時有極小值，也是最小值，
∴f（x）_min=f（a-1）=lna-a+1≥0，…（9分）
記g（x）=lnx-x+1，則${g^'}（x）=\frac{1}{x}-1=-\frac{x-1}{x}$，
令g′（x）=0，得x=1，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，當x＞1時，g′（x）＜0，
∴g（x）在x=1處有極大值就是最大值為g（1）=0，…（11分）
∴lna-a+1最大值為0，
又lna-a+1≥0，故a=1，
即當且僅當a=1時f（x）≥0恒成立．…（12分）

點評 本題考查切線方程的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．