Question

14．已知F₁，F₂分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點，A是其上頂點，且△AF₁F₂是等腰直角三角形，延長AF₂與橢圓C交于另一點B，若△AF₁B的面積是8，則橢圓C的方程是$\frac{x^2}{{{{12}^{\;}}}}+\frac{y^2}{6}=1$．

Answer 1

分析 由△AF₁F₂是等腰直角三角形，可得b=c，可設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{2b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（b＞0）．在Rt△ABF₁中，由勾股定理可得：丨AF₁丨²+|AB|²=丨F₂B丨²，|AF₂|=|AF₁|=$\sqrt{2}$b，設|BF₂|=m，則|BF₁|=2a-m=2$\sqrt{2}$b-m，2b²+（$\sqrt{2}$b+m）²=（2$\sqrt{2}$b-m）²，又S=$\frac{1}{2}$丨AF₁丨•丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$b+m）=8，聯立解出即可得出b²，即可求得橢圓C的標準方程．

解答 解：∵△AF₁F₂是等腰直角三角形，b=c，
可設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{2b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（b＞0）．
在Rt△ABF₁中，由勾股定理可得：丨AF₁丨²+|AB|²=丨F₂B丨²，
|AF₂|=|AF₁|=$\sqrt{2}$b，設|BF₂|=m，則|BF₁|=2a-m=2$\sqrt{2}$b-m，
代入可得：2b²+（$\sqrt{2}$b+m）²=（2$\sqrt{2}$b-m）²，
又△AF₁B的面積S=$\frac{1}{2}$丨AF₁丨•丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$b+m）=8，
聯立解得：b²=6，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{x^2}{{{{12}^{\;}}}}+\frac{y^2}{6}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{{{{12}^{\;}}}}+\frac{y^2}{6}=1$．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、勾股定理、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．