Question

10．已知直線l的參數方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$
（1）若P（1，-1），l上一點Q對應的參數值t=-2，求Q的坐標和|PQ|的值；
（2）l與圓x²+y²=4交于M、N，求|MN|的值．

Answer 1

分析 （1）把t=-2代入參數方程得Q$（0，-1-\sqrt{3}）$，從而求出|PQ|的值；
（2）把參數方程代入圓方程有：${（1+\frac{1}{2}t）^2}+{（-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t）^2}=4$，整理得：${t^2}+（1-\sqrt{3}）t-2=0$，利用參數的幾何意義求|MN|的值．

解答 解：（1）把t=-2代入參數方程得Q$（0，-1-\sqrt{3}）$，|PQ|=$\sqrt{{{（1-0）}^2}+{{（-1+1+\sqrt{3}）}^2}}=2$．（5分）
（2）把參數方程代入圓方程有：${（1+\frac{1}{2}t）^2}+{（-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t）^2}=4$，整理得：${t^2}+（1-\sqrt{3}）t-2=0$，
于是${t_1}+{t_2}=\sqrt{3}-1，{t_1}{t_2}=-2$，
所以|MN|=|t₁-t₂|，代入得$|{MN}|=\sqrt{12-2\sqrt{3}}$．（10分）

點評 本題考查參數方程的運用，考查參數的幾何意義，屬于中檔題．