Question

16．函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^2}+1，x≤0\\{x^2}+\frac{2}{x}+a，x＞0\end{array}$，若f（0）是f（x）的最小值，則a的取值范圍為（　　）

• A． [-1，2]
• B． [-1，0]
• C． [1，2]
• D． [0，2]

Answer 1

分析 利用分段函數求出函數的最小值，利用基本不等式列出關系式求解即可．

解答 解：函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^2}+1，x≤0\\{x^2}+\frac{2}{x}+a，x＞0\end{array}$，若f（0）是f（x）的最小值，可得a≥0．
可得f（0）=a²+1，
∴x²+$\frac{2}{x}+a$≥a²+1，即x²+$\frac{2}{x}$≥a²-a+1，x＞0時恒成立．
x²+$\frac{2}{x}$=x²+$\frac{1}{x}$$+\frac{1}{x}$≥3$\root{3}{{x}^{2}•\frac{1}{x}•\frac{1}{x}}$=3，當且僅當x=1時取等號．
可得3≥a²-a+1，a²-a-2≤0，解得a∈[-1，2]．
綜上a∈[0，2]．
故選：D．

點評 本題考查分段函數的應用，函數的最值的求法，考查分類討論思想的應用．