Question

5．數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+a_n+1=（$\frac{1}{4}$）ⁿ（n∈N^*），記T_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1，類比課本中推導等比數列前n項和公式的方法，可求得5T_n-4ⁿ•a_n=（　　）

• A． n
• B． n²
• C． 2n²
• D． n+1

Answer 1

分析 先對S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 兩邊同乘以4，再相加，求出其和的表達式，整理即可求出5S_n-4ⁿa_n的表達式．

解答 解：由S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 ①
得4•s_n=4•a₁+a₂•4²+a₃•4³+…+a_n-1•4^n-1+a_n•4ⁿ ②
①+②得：5s_n=a₁+4（a₁+a₂）+4²•（a₂+a₃）+…+4^n-1•（a_n-1+a_n）+a_n•4ⁿ
=a₁+4×$\frac{1}{4}$+4²•²+…+4ⁿ•a_n
=1+1+1+…+1+4ⁿ•a_n
=n+4ⁿ•a_n．
所以5s_n-4ⁿ•a_n=n．
故選A．

點評 本題主要考查數列的求和，用到了類比法，是一道比較新穎的好題目，關鍵點在于對課本中推導等比數列前n項和公式的方法的理解和掌握．