Question

14．已知函數$f（x）=sin（{wx+ϕ}），（{w＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}}）$，其相鄰兩個最高點之間的距離是π，且函數$f（{x+\frac{π}{12}}）$是偶函數，下列判斷正確的是（　　）

• A． 函數f（x）的最小正周期為2π
• B． 函數f（x）在$[{\frac{3π}{4}，π}]$上單調遞增
• C． 函數f（x）的圖象關于直線$x=-\frac{7π}{12}$對稱
• D． 函數f（x）的圖象關于點$（{\frac{π}{12}，0}）$對稱-

Answer 1

分析 根據題意，求出函數f（x）的解析式，再判斷選項中的命題是否正確即可．

解答 解：函數f（x）=sin（ωx+φ）圖象的相鄰兩個最高點之間的距離是π，
∴函數f（x）的周期為T=π，A錯誤；
∵ω＞0，∴ω=2，
∴函數f（x+$\frac{π}{12}$）的解析式為：
f（x）=sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+φ]=sin（2x+$\frac{π}{6}$+φ），
又函數f（x+$\frac{π}{12}$）是偶函數，
∴$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
當x∈$[{\frac{3π}{4}，π}]$時，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{3π}{2}$+$\frac{π}{3}$，2π+$\frac{π}{3}$]，f（x）是單調增函數，B正確；
當x=-$\frac{7π}{12}$時，2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{5π}{6}$，f（x）的圖象不關于直線$x=-\frac{7π}{12}$對稱，C錯誤；
當x=$\frac{π}{12}$時，2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，f（x）≠0，f（x）的圖象不關于點$（{\frac{π}{12}，0}）$對稱，D錯誤．
故選：B．

點評 本題考查了求正弦型函數的解析式以及函數的圖象與性質的應用問題，是綜合性題目．