Question

19．（理）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2．給出以下結(jié)論：
①$\overrightarrow{SA}$+$\overrightarrow{SB}$+$\overrightarrow{SC}$+$\overrightarrow{SD}$=$\overrightarrow{0}$；
②$\overrightarrow{SA}$+$\overrightarrow{SB}$-$\overrightarrow{SC}$-$\overrightarrow{SD}$=$\overrightarrow{0}$；
③$\overrightarrow{SA}$-$\overrightarrow{SB}$+$\overrightarrow{SC}$-$\overrightarrow{SD}$=$\overrightarrow{0}$； 
④$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=$\overrightarrow{SC}$•$\overrightarrow{SD}$；
⑤$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SC}$=0，
其中正確結(jié)論是（　　）

• A． ①②③
• B． ④⑤
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{SA}$-$\overrightarrow{SB}$+$\overrightarrow{SC}$-$\overrightarrow{SD}$=$\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{DS}$=$\overrightarrow{0}$； $\overrightarrow{SA}•\overrightarrow{SB}$=2×2×cos∠ASB，$\overrightarrow{SC}•\overrightarrow{SD}$=2×2×cos∠CSD，又∠ASB=∠CSD，從而$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=$\overrightarrow{SC}$•$\overrightarrow{SD}$．

解答 解：∵在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2．
∴$\overrightarrow{SA}$-$\overrightarrow{SB}$+$\overrightarrow{SC}$-$\overrightarrow{SD}$=$\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{DS}$=$\overrightarrow{0}$，故③正確，排除選項(xiàng)B，C；
∵$\overrightarrow{SA}•\overrightarrow{SB}$=2×2×cos∠ASB，$\overrightarrow{SC}•\overrightarrow{SD}$=2×2×cos∠CSD，
又∠ASB=∠CSD，
∴$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=$\overrightarrow{SC}$•$\overrightarrow{SD}$，故④正確，排除選項(xiàng)A．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間向量運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．