Question

10．設f（x）是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f（x+2）=-f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=2x+x²．
（1）求證：f（x）是周期函數；
（2）當x∈[2，4]，求f（x）的解析式；
（3）計算：f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2008）．

Answer 1

分析 （1）根據函數的周期性證明
（2）利用周期性概念，奇偶性定義轉化，
（3）根據周期性整體求解得出即可

解答 （1）證明：∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
∴f（x）為周期函數且4是它的一個周期．
（2）∵f（x）R上的奇函數，∴f（0）=0，f（2）=f（0+2）=f（0）=0，
滿足f（x）=x²-2x，∴x∈[0，2]時，f（x）=x²-2x，
當x∈[-2，0]時，-x∈[0，2]，∴f（-x）=x²+2x，
∴x∈[-2，0]時，∴f（x）=-[-f（x）]=x²-2x，
又當x∈[2，4]時，x-4∈[-2，0]，
∴f（x）=f（x-4）=-（x-4）²-2（x-4）=-x²+6x-8．
（3）由函數的周期性可得，原式的值=4×502=2008．

點評 本題綜合考察了函數的周期性，奇偶性，單調性的綜合運用，屬于綜合題目．