Question

14．某外商到一開防區投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜投入50萬美元．
（1）若扣除投資及各種經費，則從第幾年開始獲取純利潤？
（2）試計算第幾年平均獲取純利潤最大．

Answer 1

分析 由題意知，每年的經費是以12為首項，4為公差的等差數列，設純利潤與年數的關系為f（n），則由求和公式得到f（n）=-2n²+40n-72；
（1）令f（n）＞0，解出n即可判斷；
（2）由年平均利潤$\frac{y}{n}=-（2n+\frac{72}{n}）+40≤16$，即可求得最大值及n的值；

解答 解：設第n年的利潤為y，
（1）y=50n-72-[12+16+…+4（n-1）]=-2n²+40n-72，
令y＞0，得2＜n＜18，
∴第3年開始獲取純利潤．
（2）∵$\frac{y}{n}=-（2n+\frac{72}{n}）+40≤16$當且僅當$2n=\frac{72}{n}$即“n=6”時取“=”，
∴第6年年平均獲利最大．

點評 本題考查等差數列的應用題，考查等差數列的求和公式，考查運用基本不等式和二次函數的知識求最值，屬于中檔題和易錯題．