Question

4．已知函數y=f（x），若在定義域內存在x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，則稱x₀為函數y=f（x）的局部對稱點．
（1）若a、b∈R且a≠0，證明：函數f（x）=ax²+bx-a必有局部對稱點；
（2）若函數f（x）=2^x+c在定義域[-1，2]內有局部對稱點，求實數c的取值范圍；
（3）若函數f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3在R上有局部對稱點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據局部對稱點的定義，結合已知中二次函數的圖象和性質，可證明得結論；
（2）若函數f（x）=2^x+c在定義域[-1，2]內有局部對稱點，則方程2^x+2^-x+2c=0在區間[-1，2]上有解，解得實數c的取值范圍；
（3）若函數f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3在R上有局部對稱點，則方程（4^x+4^-x）-2m（2^x+2^-x）+2（m²-3）=0（*）在R上有解，解得實數m的取值范圍．

解答 證明：（1）由f（x）=ax²+bx-a得f（-x）=ax²-bx-a
代入f（-x）+f（x）=0得，（ax²+bx-a）+（ax²-bx-a）=0，
得到關于x的方程ax²-a=0（a≠0），
其中△=4a²，由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立
所以函數f（x）=ax²+bx-a（a≠0）必有局部對稱點…5分
（2）方程2^x+2^-x+2c=0在區間[-1，2]上有解，于是-2c=2^x+2^-x
設t=2^x（-1≤x≤2），$\frac{1}{2}≤t≤4$，$-2c=t+\frac{1}{t}$其中$2≤t+\frac{1}{t}≤\frac{17}{4}$
所以$-\frac{17}{8}≤c≤-1$…10分
（3）f（-x）=4^-x-m•2^-x+1+m²-3，
由于f（-x）+f（x）=0，所以4^-x-m•2^-x+1+m²-3=-（4^x-m•2^x+1+m²-3）
 于是（4^x+4^-x）-2m（2^x+2^-x）+2（m²-3）=0（*）在R上有解
令2^x+2^-x=t（t≥2），則4^x+4^-x=t²-2，
所以方程（*）變為t²-2mt+2m²-8=0在區間[2，+∞）內有解，需滿足條件：$\left\{\begin{array}{l}△=4{m^2}-8（{{m^2}-4}）≥0\\ \frac{{2m+\sqrt{4（{8-{m^2}}）}}}{2}≥2\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}-2\sqrt{2}≤m≤2\sqrt{2}\\ 1-\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}\end{array}\right.$，
化簡得$1-\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}$…16分．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．