Question

3．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，若S_n=2a_n-3n．
（Ⅰ）求證：數列{a_n+3}是等比數列，并求出數列{a_n}的通項a_n；
（Ⅱ）求數列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）S_n=2a_n-3n，n=1時，a₁=2a₁-3，解得a₁．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=2a_n-1+3，變形為：a_n+3=2（a_n-1+3），利用等比數列的通項公式即可得出．
（II）na_n=3n×2ⁿ-3n．設數列{n×2ⁿ}的前n項和為A_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出A_n，再利用等差數列的求和公式進而得出．

解答 （I）證明：∵S_n=2a_n-3n，∴n=1時，a₁=2a₁-3，解得a₁=3．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-3n-[2a_n-1-3（n-1）]，
化為：a_n=2a_n-1+3，變形為：a_n+3=2（a_n-1+3），∴數列{a_n+3}是等比數列，公比為2．
∴a_n+3=6×2^n-1，解得a_n=3×2ⁿ-3．
（II）解：na_n=3n×2ⁿ-3n．
設數列{n×2ⁿ}的前n項和為A_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．
∴數列{na_n}的前n項和T_n=6+（3n-3）×2ⁿ⁺¹-3×$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”方法、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．