Question

設f（x）是定義在R上的增函數，且對于任意的實數x都有f（x）=-f（2-x）成立，如果實數m，n滿足不等式組

f(m2-6m-5)+f(8n-n2)≤0 0≤n≤7

，則m+2n的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：

分析：由f（x）=-f（2-x）得f（2-x）=-f（x），則f（m²-6m-5）+f（8n-n²）≤0可化為f（m²-6m-5）≤-f（8n-n²）=f（2+n²-8n），根據f（x）在R上單調遞增，可得
m²-6m-5＜2+n²-8n，整理得，由此可畫出不等式組

f(m2-6m-5)+f(8n-n2)≤0 0≤n≤7

，所表示的點（m，n）對應的區域，根據線性規劃的知識可求m+2n的范圍．

解答： 解：∵f（x）=-f（2-x）∴f（2-x）=-f（x），
∴f（m²-6m-5）+f（8n-n²）≤0，可化為f（m²-6m-5）≤-f（8n-n²）=f（2+n²-8n），
又f（x）在R上單調遞增，
∴m²-6m-5≤2+n²-8n，即（m+n-7）（m-n+1）≤0，
∴不等式組

f(m2-6m-5)+f(8n-n2)≤0 0≤n≤7

即為

(m+n-7)(m-n+1)≤0 0≤n≤7

，
點（m，n）所對應的區域如圖陰影部分所示：

令t=m+2n，即n=-

1

2

m+

1

2

t，由圖知，當直線n=-

1

2

m+

1

2

t過點（-1，0），（3，4）時可得t的最小值、最大值，
代入，得t_min=-1，t_max=11．
∴m+2n的取值范圍是[-1，11]．
故答案為：[-1，11]．

點評：本題考查函數恒成立問題、線性規劃問題，考查數形結合思想，考查學生分析問題解決問題的能力，屬中檔題．