Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別是F₁，F₂，過點F₁的直線l交橢圓C于A，B兩點，若△AF₂B的周長為16，過焦點F₁且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為2，則橢圓C的離心率為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意得|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=4a=16，從而求a，再由過焦點F₁且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為2知2

b2

a

=2；從而解得．

解答： 解：∵△AF₂B的周長為16，
∴|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|
=4a=16，
解得，a=4；
∵過焦點F₁且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為2，
∴2

b2

a

=2；
解得，b²=a=4；
故b=2；
則c=

16-4

=2

3

；
故橢圓C的離心率為e=

2 3

4

=

3

2

；
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查了橢圓的方程的應用，屬于基礎題．