Question

已知點P為拋物線y=

1

2

x²上的動點，點P在x軸上的射影為M，點A的坐標是（6，

17

2

），則|PA|+|PM|的最小值是（　　）

• A、8
• B、

  19

  2

• C、10
• D、

  21

  2

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先根據拋物線方程求得焦點和準線方程，可把問題轉化為P到準線與P到A點距離之和最小，進而根據拋物線的定義可知拋物線中P到準線的距離等于P到焦點的距離，進而推斷出P、A、F三點共線時|PF|+|PA|距離之和最小，利用兩點間距離公式求得|FA|，則|PA|+|PM|可求．

解答： 解：依題意可知，拋物線y=

1

2

x²即拋物線2y=x²焦點為（0，

1

2

），準線方程為y=-

1

2

，
只需直接考慮P到準線與P到A點距離之和最小即可，（因為x軸與準線間距離為定值

1

2

不會影響討論結果），
由于在拋物線中P到準線的距離等于P到焦點的距離，
此時問題進一步轉化為|PF|+|PA|距離之和最小即可（F為曲線焦點），
顯然當P、A、F三點共線時|PF|+|PA|距離之和最小，為|FA|，
由兩點間距離公式得|FA|=

62+( 17 2 - 1 2 )2

=10，
那么P到A的距離與P到x軸距離之和的最小值為|FA|-

1

2

=

19

2

故選：B．

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質．考查了學生數形結合的思想和分析推理能力．