Question

某鄉有A、B、C、D四個村莊，恰好座落在邊長為2km的正方形頂點上，為發展經濟，當地政府決定建立一個使得任何兩個村莊都有通道的路網，道路網由一條中心道及四條支線組成，要求四條支道的長度相等．（如圖所示）
（1）若道路的總長度不超過5.5km，試求中心道長的取值范圍．
（2）問中心道長為何值時，道路網的總長度最短？

Answer 1

考點：不等式的實際應用

專題：應用題,不等式的解法及應用

分析：（1）以中心道長度為變量，建立道路網的總長度的解析式，由題意得2x+4

1+(1-x)2

≤5.5，解不等式，即可求中心道長的取值范圍．
（2）利用判別式法，可求道路網的總長度最短．

解答：解：設中心道長度為2x km（0＜x＜1）．
（1）由題意得2x+4

1+(1-x)2

≤5.5，化簡，得48x²-40x+7≤0．
解得

1

4

≤x≤

7

12

．
所以中心道長的取值范圍是[

1

2

，

7

6

]．
（2）因為y=2x+4

1+(x-1)2

，
所以（y-2x）²=16（2-2x+x²）．
所以12x²+（4y-32）x+32-y²=0．①
因為0＜x＜1，所以△=（4y-32）²-4×12（32-y²）≥0．
由于y＞0，所以y≥2+2

3

．
將y_min=2+2

3

代入①得12x²+（8+8

3

-32）x+32-（2+2

3

）²=0
∴x=1-

3

3

答：當道路網長度不超過5.5 km時，中心道長的取值范圍為[

1

2

，

7

6

]；中心道長為（2-

2 3

3

） km時，道路網總長度最短．

點評：在實際問題中建立函數關系時，首先要選取自變量，自變量選取恰當與否對于解決問題簡便與否有直接的關系．