Question

5．如圖所示，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，左焦點(diǎn)為F，A、B、C為其三個(gè)頂點(diǎn)，直線CF與AB交于D點(diǎn)，則tan∠ADF的值等于（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． -3$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{5}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)離心率的值求出$\frac{b}{a}$和$\frac{b}{c}$的值，求得tan∠BAO=$\frac{b}{a}$的值，再求出tan∠OFC=$\frac{b}{c}$的值，代入tan∠ADF=-tan（∠BAO+∠OFC） 進(jìn)行運(yùn)算．

解答 解：∵離心率e=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-{e}^{2}}=\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\frac{b}{c}=\frac{b}{\frac{1}{2}a}=\sqrt{3}$．
由圖可知，tan∠ADF=-tan（∠BAO+∠OFC），
tan∠BAO=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
tan∠OFC=$\frac{OC}{OF}$=$\frac{b}{c}=\sqrt{3}$，
∴tan∠ADF=-tan（∠BAO+∠OFC）=$-\frac{tan∠BAO+tan∠OFC}{1-tan∠BAO•tan∠OFC}$=3$\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，兩角和差的正切函數(shù)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．