Question

10．根據(jù)下列條件求曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）準(zhǔn)線(xiàn)方程為$x=-\frac{3}{2}$的拋物線(xiàn)；
（2）焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)（2，0）、$（2\sqrt{3}，\sqrt{6}）$的雙曲線(xiàn)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為$x=-\frac{3}{2}$，所以有$-\frac{p}{2}=-\frac{3}{2}$，故p=3，即可求出拋物線(xiàn)方程；
（2）設(shè)所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出a，b，即可求出雙曲線(xiàn)方程．

解答 解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0）．
其準(zhǔn)線(xiàn)方程為$x=-\frac{3}{2}$，所以有$-\frac{p}{2}=-\frac{3}{2}$，故p=3．
因此拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y²=6x．
（2）設(shè)所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），
因?yàn)辄c(diǎn)（2，0），$（2\sqrt{3}，\sqrt{6}）$在雙曲線(xiàn)上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程，
由此得$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a^2}-\frac{0}{b^2}=1\\ \frac{12}{a^2}-\frac{6}{b^2}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=4\\{b^2}=3\end{array}\right.$，
   所求雙曲線(xiàn)的方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查待定系數(shù)法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．