Question

18．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面四邊形ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，AB=BC=1，AD=2，AA₁=$\sqrt{2}$．
（1）求證：直線C₁D⊥平面ACD₁；
（2）試求三棱錐A₁-ACD₁的體積．

Answer 1

分析 （1）通過證明C₁D⊥CD₁，C₁D⊥AC，說明AC與CD₁是平面ACD₁內的兩條相交直線，利用直線與平面垂直的判定定理證明直線C₁D⊥平面ACD₁；
（2）求三棱錐A₁-ACD₁的體積．轉化為三棱錐C-AA₁D₁的體積，求出底面面積與高，即可求解棱錐的體積．

解答 解：（1）證明：在梯形ABCD內過C點作CE⊥AD交AD于點E，
則由底面四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=BC=1，
以及AD=2，AA₁=$\sqrt{2}$．可得：CE=1，且AC=CD=$\sqrt{2}$，AA${\;}_{1}=C{C}_{1}=\sqrt{2}$，AC⊥CD．
又由題意知CC₁⊥面ABCD，從而AC⊥CC₁，而CC₁∩CD=C，
故AC⊥C₁D．
因CD=CC₁，及已知可得CDD₁C₁是正方形，從而C₁D⊥CD₁．
因C₁D⊥CD₁，C₁D⊥AC，且AC∩CD₁=C，
所以C₁D⊥面ACD₁．
（2）因三棱錐A₁-ACD₁與三棱錐C-AA₁D₁是相同的，故只需求三棱錐C-AA₁D₁的體積即可，而CE⊥AD，
且由AA₁⊥面ABCD可得CE⊥AA₁，又因為AD∩AA₁=A，
所以有CE⊥平面ADD₁A₁，即CE為三棱錐C-AA₁D₁的高．
故V${\;}_{C-A{A}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×A{A}_{1}×{A}_{1}{D}_{1}×CE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×1=\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查空間幾何體直線與平面垂直的判斷與證明，幾何體的體積的求法，考查邏輯推理能力以及計算能力．屬于中檔題．