Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），向量$\overrightarrow{b}$=（x，-2），且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）
（Ⅰ）求|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（Ⅱ）若向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$與2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$平行，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知結(jié)合$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）列式求得x值，進(jìn)一步求出3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐標(biāo)，代入模的計(jì)算公式求解；
（Ⅱ）求出向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$與2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（x，-2），
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（1-x，4），
由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），得（1，2）•（1-x，4）=1-x+8=0，∴x=9．
則$3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（12，4），
∴$|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{1{2}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{10}$；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（9，-2），
∴$\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$=（1-9λ，2+2λ），$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（11，2）．
∵向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$與2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$平行，
∴（1-9λ）×2-11×（2+2λ）=0．
解得：$λ=-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量加減法與數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．