Question

17．F₁、F₂是雙曲線$\frac{x^2}{{4{a^{\;}}}}-\frac{y^2}{{{a^{\;}}}}=1$的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，且△F₁PF₂的面積為1，則a的值是a=1或-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 討論a＞0，a＜0，運(yùn)用雙曲線的定義和向量垂直的條件，以及三角形的面積公式，結(jié)合勾股定理，解方程即可得到所求值．

解答 解：設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，
當(dāng)a＞0時(shí)，由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=4$\sqrt{a}$，
$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，可得PF₁⊥PF₂，
△F₁PF₂的面積為1，可得$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=1，
即有|PF₁|•|PF₂|=2，
由勾股定理可得，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=20a，
即有（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁|•|PF₂|=16a+4=20a，
解得a=1；
當(dāng)a＜0時(shí)，雙曲線$\frac{x^2}{{4{a^{\;}}}}-\frac{y^2}{{{a^{\;}}}}=1$即為$\frac{{y}^{2}}{-a}$-$\frac{{x}^{2}}{-4a}$=1，
由雙曲線的定義可得||PF₁|-|PF₂||=2$\sqrt{-a}$，
$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，可得PF₁⊥PF₂，
△F₁PF₂的面積為1，可得$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=1，
即有|PF₁|•|PF₂|=2，
由勾股定理可得，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=-20a，
即有（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁|•|PF₂|=-4a+4=-20a，
解得a=-$\frac{1}{4}$．
綜上可得a=1或-$\frac{1}{4}$．
故答案為：a=1或-$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，以及三角形的勾股定理和面積公式的運(yùn)用，考查分類討論思想方法，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．