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10.已知函數f(x)=ax+lnx(a∈R).
(1)若a=2,求曲線y=f(x)在x=1處切線的斜率;
(2)求f(x)的單調區間;
(3)若對任意x∈(0,+∞),均有f(x)<0,求a的取值范圍.

分析 (1)求出函數的導數,由導數的幾何意義,可得所求切線的斜率;
(2)求出函數的導數,討論①當a≥0,②當a<0,由導數大于0,可得增區間;導數小于0,可得減區間;
(3)由題意可得a<-$\frac{lnx}{x}$,設h(x)=-$\frac{lnx}{x}$,求出導數和單調區間,可得極值和最值,進而得到所求a的范圍.

解答 解:(1)由f(x)=2x+lnx,導數f′(x)=2+$\frac{1}{x}$(x>0),
可得f′(1)=2+1=3,
故曲線y=f(x)在x=1處切線的斜率為3;
(2)f′(x)=a+$\frac{1}{x}$(x>0)=$\frac{ax+1}{x}$,
①當a≥0時,由于x>0,故ax+1>0,f′(x)>0,
所以,f(x)的單調遞增區間為(0,+∞).
②當a<0時,由f′(x)=0,得x=-$\frac{1}{a}$.
在區間(0,-$\frac{1}{a}$)上,f′(x)>0,在區間(-$\frac{1}{a}$,+∞)上f′(x)<0,
所以,函數f(x)的單調遞增區間為(0,-$\frac{1}{a}$),單調遞減區間為(-$\frac{1}{a}$,+∞).
(3)對任意x∈(0,+∞),均有f(x)<0,
則有a<-$\frac{lnx}{x}$,
設h(x)=-$\frac{lnx}{x}$,則h′(x)=$\frac{lnx-1}{{x}^{2}}$,
令h′(x)=0得x=e,
當0<x<e 時,h′(x)<0,則h(x)單調遞減;
當x>e時,h′(x)>0,則h(x)單調遞增,
所以h(x)min=h(e)=-$\frac{1}{e}$,
 可得a<-$\frac{1}{e}$.

點評 本題考查導數的運用:求切線的斜率和單調區間,極值和最值,考查分類討論的思想方法,參數分離的方法,和構造函數法,考查運算能力,屬于中檔題.

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