Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為$a，b，c．且滿足\frac{asinA+bsinB-csinC}{asinB}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sinC$．
（1）求角C；
（2）若△ABC的中線CD的長為1，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{ab}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，由余弦定理，同角三角函數基本關系式可求tanC的值，結合范圍C∈（0，π），可得C的值．
（2）由三角形中線長定理得：2（a²+b²）=4+c²，由三角形余弦定理得：c²=a²+b²-ab，消去c²，結合基本不等式可求ab≤$\frac{4}{3}$，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵由已知及正弦定理可得：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{ab}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，
∴由余弦定理可得：$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinC$，
即$tanC=\sqrt{3}$，
∴由C∈（0，π），可得$C=\frac{π}{3}$．
（2）由三角形中線長定理得：2（a²+b²）=2²+c²=4+c²，
由三角形余弦定理得：c²=a²+b²-ab，
消去c²得：$4-ab={a^2}+{b^2}≥2ab，ab≤\frac{4}{3}$（當且僅當a=b時，等號成立），
即${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC≤\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角形中線長定理的綜合應用，三角形中線長定理主要表述三角形三邊和中線長度關系，定理內容為：三角形一條中線兩側所對邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍，屬于中檔題．