Question

5．已知F₁，F₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦，D，E分是橢圓C的上頂點和右頂點，且S${\;}_{△DE{F}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，離心率e=$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設經過F₂的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求S_△AOB的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的離心率，三角形的面積，列出方程組，然后求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設出直線方程，聯立直線與橢圓方程的方程組，利用韋達定理以及三角形的面積公式，結合函數的單調性求解即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{2}（a-c）b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，---------------------------------（3分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=3}\end{array}\right.$，故所求橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$----------------------------------（5分）
（Ⅱ）由（1）知F₂（1，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程為x=ty+1，代入橢圓的方程，
整理得（3t²+4）y²+6ty-9=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6t}{3{t}^{2}+4}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{3{t}^{2}+4}}\end{array}\right.$，-----------------------（8分）
∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×1×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{{6\sqrt{{t^2}+1}}}{{3{t^2}+4}}$，
令$\sqrt{{t^2}+1}=k，k≥1$，$S=\frac{6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$=$\frac{6k}{3{k}^{2}+1}$=$\frac{6}{3k+\frac{1}{k}}$，
函數是減函數，所以S$≤\frac{3}{2}$-----------------------（11分）
當且僅當t=0時上式取等號．S_△AOB的最大值為$\frac{3}{2}$．--------------------（12分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，橢圓方程的求法，函數的單調性的應用，考查計算能力．