Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（m，n-1）與$\overrightarrow{b}$=（2，-1）平行，則$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 根據題意，由于向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$平行，結合向量平行的坐標表示方法可得m×（-1）-（n-1）×2=0，即m=2-2n，將其代入$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$中可得$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{（2-2n）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{5{n}^{2}-8n+4}$，結合二次函數的性質計算即可得答案．

解答 解：根據題意，向量$\overrightarrow{a}$=（m，n-1）與$\overrightarrow{b}$=（2，-1）平行，
則有m×（-1）-（n-1）×2=0，即m=2-2n，
則$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{（2-2n）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{5{n}^{2}-8n+4}$，
而5n²-8n+4=5（n²-$\frac{8n}{5}$+$\frac{16}{25}$）+$\frac{4}{5}$≥$\frac{4}{5}$，
則有$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{5{n}^{2}-8n+4}$≥$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
即$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$的最小值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
故選：D．

點評 本題考查基本不等式的性質以及向量平行的坐標表示，關鍵是求出m、n的關系．