Question

20．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0\;，\;\;b＞0）$的左、右焦點分別為F₁，F₂，且焦點與橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{2}=1$的焦點相同，離心率為$e=\frac{{\sqrt{34}}}{5}$，若雙曲線的左支上有一點M到右焦點F₂的距離為18，N為MF₂的中點，O為坐標原點，則|NO|等于（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 求得橢圓的焦點，可得雙曲線的c，由離心率公式可得a，連接MF₁，利用ON是△MF₁F₂的中位線，|ON|=$\frac{1}{2}$|MF₁|，再由雙曲線的定義求出|MF₁|，進而得到|ON|的值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{2}=1$的焦點
為（±$\sqrt{34}$，0），
可得雙曲線的c=$\sqrt{34}$，
離心率為$e=\frac{{\sqrt{34}}}{5}$，可得a=5，
由雙曲線左支上有一點M到右焦點F₂的距離為18，
N是MF₂的中點，
連接MF₁，
ON是△MF₁F₂的中位線，
可得ON∥MF₁，
|ON|=$\frac{1}{2}$|MF₁|，
由雙曲線的定義知，|MF₂|-|MF₁|=2×5，
∴|MF₁|=8．
∴|ON|=4，
故選：D．

點評 本題考查橢圓的焦點和雙曲線的焦點，考查雙曲線的定義，考查三角形中位線的性質，屬于中檔題．